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[¯|¯] Applicazione inversa

giugno 11th, 2018 | by Marcello Colozzo |

applicazioni tra insiemi, applicazione inversa

Comunque prendiamo un'applicazione bi-iettiva f:S->S', è univocamente determinata l'applicazione che associa all'elemento x' di S', l'elemento x di S tale che f(x)=x'. Infatti, l'iniettività implica l'unicità dell'elemento x:

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Definizione
Chiamiamo applicazione inversa la predetta applicazione, denotandola con f-1 e scrivendo:

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Proposizione
Comunque prendiamo una biezione f:S'->S, si ha

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Dimostrazione

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onde
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In maniera analoga si dimostra l'altra relazione.

Proposizione
Ipotesi: Per un'assegnata applicazione f:S->S', esiste un'applicazione g:S'->S tale che

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Tesi:

  1. f è una biezione
  2. g=f-1

Dimostrazione
Iniziamo con il dimostrare che f è bi-iettiva i.e. è suriettiva e iniettiva. Sia

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Segue

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In virtù dell'arbitrarietà di x' quale elemento di S', si ha

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onde la suriettività di f.
Per dimostrare l'iniettività prendiamo

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per cui
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Cioè f è iniettiva. Per dimostrare il punto 2, consideriamo

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Per la proprietà associativa
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da cui l'asserto.


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