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[¯|¯] Sistemi dinamici autonomi lineari

giugno 10th, 2018 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,Sistemi dinamici autonomi lineari,fattore integrante
Immagine tratta dal libro La rete della vita

Definizione
Un sistema dinamico autonomo

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è
lineare se la funzione f(x) è lineare. Nel caso contrario, il sistema è non lineare.
Per un sistema lineare si ha, quindi
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dove α,ß sono costanti reali. Se ß=0 il sistema è lineare ed omogeneo. Se α=ß=0 il sistema si dice banale ed ammette infinite soluzioni.
Si osservi che la definizione di linearità si conserva anche nel caso di non-autonomia. Precisamente, un sistema non-autonomo:

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è lineare se la funzione f(t,x) è lineare in x. Cioè, il più generale sistema dinamico non-autonomo lineare è:

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con α(t),ß(t) funzioni continue [t0,+oo).
Ritorniamo ai sistemi autonomi lineari:
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Come è noto, si cerca un fattore integrante:

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per cui

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Cioè

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Integrando primo e secondo membro, otteniamo l'integrale generale:

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dove C è una costante di integrazione.

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