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[¯|¯] Uguaglianza logica. Uguaglianza geometrica. Insiemi in estensione

giugno 6th, 2018 | by Marcello Colozzo |

uguaglianza logica,uguaglianza geometrica,insiemi in estensione,simbolo di peano
Fig. 1. Due quadrati aventi lo stesso lato, sono geometricamente uguali, giacché esiste un movimento che porta uno a sovrapporsi all'altro.


Definizione
Due elementi a e b sono uguali se e solo se sono stesso elemento, e si scrive
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Tale definizione rappresenta la nozione di uguaglianza logica (o uguaglianza in logica matematica) ed è diversa dal concetto di uguaglianza geometrica. Ad esempio, due quadrati di lato l sono geometricamente uguali in quanto sovrapponibili, ma logicamente distinti (cfr. fig. 1).

Comunque prendiamo un elemento a, possiamo considerare l'insieme il cui unico elemento è a, e che viene denotato con {a}, tenendo presente che a e {a} sono due nozioni distinte. Il predetto simbolo definisce la notazione in estensione di un assegnato insieme. Più precisamente, se un insieme A è costituito da n elementi a1,a2,...,an, la notazione estesa restituisce l'oggetto:

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Si badi che nella notazione in estensione, l'ordine con cui sono disposti i singoli elementi, è ininfluente. Ad esempio, consideriamo l'insieme:

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Per quanto precede:

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Inoltre, un elemento può essere ripetuto più volte:

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Appartenenza ad un insieme. Il simbolo di Peano

Ilsimbolo di Peano definisce l'appartenenza di un elemento a un insieme:

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che si legge "a appartiene ad A". Un simbolo equivalente è

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che si legge "A contiene a come elemento". Viceversa, se a non è un elemento di A, dobbiamo eseguire la negazione dell'appartenenza. E ciò viene fatto barrando il simbolo di Peano:

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Altri simboli logici sono i connettivi logici:

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e la sua negazione

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Simbolo di equivalenza

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Un altro simbolo notevole è | ("tale che").


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