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[¯|¯] Alcuni criteri di uguaglianza tra vettori

giugno 3rd, 2018 | by Marcello Colozzo |

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori
Fig.1

Dall'espressione analitica della componente di un vettore v secondo una retta orientata r, discende la condizione di parallelismo tra v ed r:

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Più precisamente, secondo tale condizione v è parallelo e concorde alla retta orientata r, e si ha vr=v. Se invece v e parallelo e discorde a r, si ha φ=π e, quindi, vr=-v.
Dimostriamo il seguente criterio di uguaglianza di vettori:

Criterio

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Dimostrazione

Presa ad arbitrio r e denotando con φ e ψ gli angoli che r forma con i vettori v e w, si ha:

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Ma

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

per cui

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori
Inoltre v=w implica che v e w hanno la stessa direzione, cioè ψ=φ+2kπ, onde l'asserto.










Il criterio appena dimostrato non è invertibile. Cioè
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

giacché
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Più precisamente, possono verificarsi i casi:
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori
Per dimostrare un criterio necessario e sufficiente per l'uguaglianza di due vettori, premettiamo il seguente lemma:
Lemma
Ipotesi:
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori
Tesi:
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

essendo πk il piano ortogonale a rk in Bk, dove Bk è la proiezione ortogonale di B su rk (cfr. fig. 1). In altri termini, i piani π123 hanno in comune solo il punto B.

Dimostrazione

Procediamo per assurdo negando la tesi:

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Cioè i piani π123 hanno in comune una retta r. Dal momento che πk è ortogonale a rk, si ha che r è ortogonale a rk. Quindi
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Ciò implica che r1,r2,r3 sono parallele allo stesso piano, contraddicendo l'ipotesi da cui l'asserto.

Dimostriamo il criterio:
Criterio

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

essendo vrk e wrk le componenti dei vettori v e w secondo tre rette r1,r2,r3 orientate e non parallele a uno stesso piano.
Dimostrazione

Senza perdita di generalità, prendiamo come segmenti rappresentativi dei vettori v e w una coppia di segmenti orientati avente in comune uno degli estremi. Precisamente, poniamo:

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Per il lemma precedente, il punto B è univocamente determinato dalle sue proiezioni ortogonali B1,B2,B3 sulle rette r1,r2,r3. Quindi vrk=wrk se e solo se B e C hanno le stesse proiezioni ortogonali su rk

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

Per quanto precede:
componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

onde l'asserto.

Il virtù di questo criterio, una qualunque uguaglianza vettoriale

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

equivale a un sistema di tre uguaglianze scalari:

componente di un vettore secondo una retta orientata,uguaglianza di vettori

dove vrk e wrk sono le componenti di v e w secondo una qualunque terna di rette orientate e non parallele a uno stesso piano. Utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace, si può dire che un'uguaglianza vettoriale si proietta su una terna di rette orientate e non parallele a uno stesso piano.


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