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[¯|¯] Forma trigonometrica dei numeri complessi. La formula di Moivre

maggio 28th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1

Per quanto visto in una lezione precedente ad un assegnato numero complesso z=x+iy corrisponde univocamente un punto P del piano complesso (o piano di Gauss). Detto punto si dice affissa del numero complesso z, e quest'ultmo è la sua immagine. Passando dalle coordinate cartesiane (x,y) alle coordinate polari (ρ&theta), comunque prendiamo z=0 i.e. P distinto dall'origine O, si ha:

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In tal modo l'affissa di P si esprime:
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che definisce la forma trigonometrica del numero complesso z. Si ha:

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onde

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Ne consegue che il raggio vettore dell'immagine P di z, è il modulo di z.
Definizione
Dicesi argomento di z e si denota con arg(z), l'anomalia del punto P immagine di z.

Dal momento che l'anomalia è definita a meno di multipli interi di 2π, si ha che tale sarà arg(z). Se, invece, ci riferiamo all'anomalia principale, si ha l'argomento principale e si denota con Arg(z).
Rammentando che il polo O del riferimento polare i.e. l'origine del riferimento cartesiano del piano di Gauss, ha anomalia indeterminata si ha che arg(0) è indeterminata.
Lemma
Assegnati i numeri complessi

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si ha
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Dimostrazione

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L'asserto segue immediatamente applicando le formule di addizione degli archi.

Il risultato precedente si generalizza al prodotto di n numeri complessi:

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avendosi
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Teorema di Moivre

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Dimostrazione
L'asserto discende direttamente dal lemma dimostrato in precedenza, per
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Definizione
La formula appena dimostrata è nota come formula di Moivre.

Poniamo per definizione
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Inoltre, la formula di Moivre può essere generalizzata ad esponenti negativi:

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che può essere riscritta come

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In particolare

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onde il raggio vettore e l'anomalia del reciproco di un numero complesso z=0, sono dati rispettivamente dal reciproco del raggio vettore di z e dall'opposto dell'anomalia di z. A sua volta ciò implica che dati i numeri complessi:

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si ha:

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Esempio
Determiniamo il reciproco del numero complesso z=1+i. Innanzitutto passiamo alla rappresentazione trigonometrica;

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L'argomento principale è:

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onde

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Segue
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Cioè
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In fig. 1 rappresentiamo graficamente il numero complesso z=1+i e il suo reciproco z-1.


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