[¯|¯] Prodotto scalare

Maggio 26th, 2018 | by Marcello Colozzo |

La nozione di componente di un vettore secondo uno dei tre assi coordinati esaminata nella lezione precedente , si generalizza immediatamente: assegnati due vettori v e w, possiamo considerare la componente di w secondo la direzione di v ovvero la proiezione ortogonale di w su v. Denotando con w_v tale componente, sussiste la seguente definizione:
Definizione
Il prodotto scalare dei vettori v e w, è dato da vw_v, cioè dal prodotto del modulo di v per la componente w_v di w secondo la direzione di v.
Il prodotto scalare si denota con v·w:

Dalla fig. 1 segue

onde

Osservazione
Il prodotto scalare non dipende dal riferimento cartesiano, ma esclusivamente dai vettori considerati.
Per come il prodotto scalare viene definito, segue necessariamente che verifica la proprietà commutativa:
prodotto scalare,componenti cartesiane,proiezione ortogonale,vettori

È verificata inoltre, la proprietà distributiva rispetto all'addizione di vettori:

Comunque prendiamo uno scalare λ

Il prodotto scalare permette di particolarizzare l'espressione del modulo di un vettore. Definiamo dapprima il quadrato di un vettore:

da cui

Se v e w sono entrambi non nulli e risulta v·w=0
prodotto scalare,componenti cartesiane,proiezione ortogonale,vettori

cioè v e w sono ortogonali. In particolare, i versori degli assi coordinati di un qualunque riferimento cartesiano ortogonale, sono mutuamente ortogonali:

e trattandosi di versori:
prodotto scalare,componenti cartesiane,proiezione ortogonale,vettori

Ciò si esprime dicendo che la terna ordinata (i,j,k) è ortonormale, i.e. ortogonale, e i suoi elementi sono normalizzati a 1 (ossia hanno modulo unitario).

Le proprietà appena viste ci permettono di esprimere il prodotto scalare attraverso le componenti cartesiane dei singoli vettori. Precisamente, comunque prendiamo un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxyz), consideriamo i vettori:

Segue

Tenendo conto delle relazioni stabilite in precedenza, si ha che sopravvivono solo i prodotti delle componenti omonime:

che costituisce l'espressione cartesiana del prodotto scalare. Si badi che il secondo membro pur contenendo le componenti cartesiane dei singoli vettori, non dipende dal riferimento cartesiano. In altri termini, passando a un riferimento R'(Oxyz), le componenti dei vettori si trasformano in (v'_x,v'_y,v'_z),(w'_x,w'_y,w'_z) tali che