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[¯|¯] Numeri razionali ed irrazionali

maggio 20th, 2018 | by Anna Cordero Spina |

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Per quanto precede l'insieme dei numeri reali R è partizionato attraverso i numeri razionali ed i numeri irrazionali. Soffermiamoci un attimo sui primi. Di solito quando abbiamo a che fare con i numeri ci troviamo di fronte a numeri interi o con la virgola, ad esempio 41513,768 che è un numero reale. Ma anche 2/3 è un numero reale, come pure p, seppure il primo è razionale ed i secondo è irrazionale. Ma quello che ci interessa, è che un numero razionale può essere rappresentato in due modi, o come il rapporto tra due interi, come già precedentemente si è visto, oppure in forma prettamente numerica. È per questo che si ha bisogno di una "scatola" con una "etichetta", perché possono esistere tante frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale. Ad esempio, il numero 0,2 equivale alla frazione 1/5, ma anche alle frazioni 2/5,3/15,4/20 e così via. Ma qualunque modo scegliamo di rappresentarlo, alla fine il risultato numerico sarà sempre 0,2. Quindi vi sono infiniti modi di rappresentare lo stesso numero razionale simbolicamente. Perché questo ci interessa? Ci interessa perché la differenza tra un numero razionale ed un numero irrazionale si vede proprio dal modo in cui si esprime in modo reale. Per fare questo bisogna fare un po' di nomenclatura. Prendiamo ad esempio il numero 41513,768 che può essere scritto attraverso la seguente espansione:

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L'idea è di scriverlo come somma di cifre da 0 a 9 moltiplicate per una potenza di 10, se la potenza è maggiore uguale a zero, allora si avrà una parte intera, se invece è minore di zero si avrà la parte frazionaria del numero. In modo più compatto:

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dove [·] e (·) denotano rispettivamente la parte intera e la parte frazionaria. Perché è stata estesa la somma all'infinito? Perché vogliamo abbracciare tutti i numeri possibili, senza esclusione. Ora se la somma che compete alla parte intera di x da un certo punto in poi ha i coefficienti nulli, allora parleremo di un numero finito, ed è la tipologia che tratteremo, e di questi ci interessa la parte frazionaria. Perché? Perché la parte frazionaria di un numero ci dice che tipo di numero è (razionale o irrazionale). Se la parte frazionaria dopo la virgola è finita, cioè da un punto in poi dell'indice i coefficienti sono nulli, allora il numero è sicuramente razionale. Come si fa a dirlo? Semplice: scriviamo x come somma della sua parte intera e della sua parte frazionaria. Essendo quest'ultima finita, dovrà aversi:

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Basta dimostrare che proviene da una frazione numerica di due interi. A tale scopo osserviamo che l'espansione precedente può essere scritta come:

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È facile persuadersi che l'esponente nel termine k-esimo della sommatoria è non negativo giacché

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Ciò implica che (x) si presenta come il rapporto tra due interi:
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da cui l'asserto. Riprendiamo ora l'esempio del numero 41513,768. Per dimostrare che si tratta di un numero razionale, dobbiamo mostrare che la parte frazionaria 0,768 è razionale. Scriviamo:
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che è un procedimento noto si dalle scuole inferiori che ci assicura che il numero 41513,768è razionale. Dunque un numero reale che ha la parte frazionaria finita è razionale. "Un momento", potrebbe obiettare qualcuno, "ma vi sono anche numeri razionali la cui rappresentazione reale non è finita!". È vero, ad esempio
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ha parte frazionaria infinita, oppure

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ha parte frazionaria altrettanto infinita. Tuttavia, la differenza con i casi esaminati in precedenza, sta nel fatto che ora la parte frazionaria è periodica, ovvero si ripete ogni certo numero di cifre. Il primo infatti, come consuetudine si scrive:
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ed il secondo

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dove il trattino soprasegnato denota la periodicità. Ora già il fatto che, benché infinito , si possa scrivere in modo finito è un indice di razionalità. Ma si può dimostrare che anche i numeri reali con parte frazionaria periodica sono razionali? La risposta è affermativa, e sarà il prossimo argomento trattato.

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