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[¯|¯] Tipologie di numeri (interi naturali, interi relativi, razionali, reali, complessi)

maggio 19th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Ogni tipologia di numero nasce da una esigenza ben precisa, ovvero dare un risultato da un assegnato tipo di operazione. Ad esempio se sommiamo due interi positivi dell'insieme dei naturali N sappiamo che il risultato sarà sempre un intero positivo. Questo è utile perché sappiamo dove andare a trovare il risultato, in quale "scatola", in questo caso l'insieme dei numeri naturali, altrimenti non avrebbe senso. Ugualmente, se si vuole operare una sottrazione, ma in questo caso si può fare ad una sola condizione, ovvero che il numero sottratto sia in modulo più piccolo del numero a cui si sottrae. Ad esempio 7-5 , è lecita perché il modulo di 5 è minore del modulo di 7, inversamente se vogliamo operare 5-7 la cosa creerebbe dei problemi. Perché? Perché il risultato, per quanto si cerchi, non si può trovare nei numeri naturali. Dunque bisogna estendere questi numeri, e trovarne altri che rispondono come risultati dell'operazione in cui li modulo del numero sottratto è maggiore del modulo del numero a cui si sottrae, cioè i numeri -1,-2,-3. etc etc.

Questi numeri, i naturali più i naturali negativi, viene chiamato insieme dei numeri interi relativi, indicato con Z. In questo insieme, dotato di uno zero, di una unità, si possono operare addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni, ognuna di queste operazioni ha un risultato che si trova in Z. Per queste sue peculiarità, l'insieme degli interi viene definito algebricamente come un anello. Ma le divisioni? Anche qui si possono fare ma ad una condizione: che il numero diviso sia un multiplo del divisore. E se si vuole fare, ad esempio 9:4? Come nel caso dei naturali, il risultato di tale operazione non si troverà nell'insieme Z. Perciò anche qui, si deve fare una estensione, immettendo una quantità di numeri che sono soluzioni dell'operazione tra due interi non divisibili. È qui che nasce l'idea di Q, l'insieme dei numeri razionali. Avendo tutte le caratteristiche di Z, ed inoltre potendosi fare la divisione tra due qualsiasi elementi, algebricamente questo insieme viene definito un campo. L'insieme dei razionali è una insieme di classi, che vuol dire? Che i suoi elementi sono scatole in cui ci si mettono divisioni con lo stesso risultato. Ad esempio, se abbiamo il numero razionale 7/5 ed il numero razionale 21/15, essi sembrano diversi ma alla fine, semplificando la seconda si ottiene la prima. Quindi ecco che si formano delle scatole chiamate classi. Cioè scatole in cui fuori vi è l'etichetta di una divisione non più eseguibile. Come nel primo esempio, il numero 21/15 ancora può essere semplificato, ma non ulteriormente. Dunque sulla scatola "7/5", vi è l'etichetta di quelle infinite frazioni che semplificate danno come risultato finale 7/5. "Ok" si potrebbe dire, "allora abbiamo finito". Non è così. Il problema con i numeri razionali è generato da un ulteriore operazione, che esula dalle quattro operazioni canoniche: la radice quadrata.








Potrebbe sembrare una questione da niente, ma questa operazione ha mandato a monte tutti i piani di un certo filosofo matematico chiamato Pitagora. Egli era fondatore di una setta chiusa in cui i risultati non dovevano essere divulgati ad altri. Pitagora faceva molto affidamento sul fatto che tutto potesse essere descritto con i numeri razionali, e quando scoprì che non tute le radici quadrate si potevano trovare in Q non la prese molto bene. Come lo scoprì? Lo scoprì , come tutti i procedimenti greci, notando che in un quadrato di lato razionale , il lato non poteva essere confrontato con la diagonale. Dalla geometria elementare sappiamo che un quadrato di lato l ha una diagonale di lunghezza l*sqrt(2). Per quanto ci si sforzasse di trovare un numero razionale che lo rappresentasse non se ne trovava nessuno. È ovvio che se se ne fosse trovato uno, essendo tutte le 4 operazioni in Q eseguibili si sarebbe potuto trovare quindi un rapporto tra il lato e la diagonale. Ma non fu così. Perché? Supponiamo per assurdo che esista un razionale x che rappresenti la radice di due. Lo tiriamo fuori dalla scatola m/n, dove questa frazione è la sua etichetta. Dunque:

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Elevando al quadrato:
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dunque m è pari, esiste perciò un intero r per cui

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che sostituita nella precedente, porge:

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Semplificando:
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ma questo significa che anche n è pari, il che contraddice l'ipotesi di non eseguibilità della frazione m/n, giacché se m e n fossero entrambi pari, si potrebbe semplificare. Detto questo, si definisce insieme dei numeri reali, e si indica con R, l'insieme costituito dai razionai e gli irrazionali, ovvero quei numeri che non sono razionali. Ma anche questo insieme, non è completo, perché in esso possiamo svolgere tutte le operazioni, pure le radici di indice pari, a patto però il numero sia positivo. E se il numero fosse negativo? Ecco un ulteriore ampliamento, l'insieme dei numeri complessi C, che esamineremo in una lezione successiva.

Scarica la lezione in pdf


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