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[¯|¯] La funzione zeta di Riemann e le onde stazionarie

gennaio 25th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Sfortunatamente l'approccio precedente non funziona, in quanto il sistema di funzioni {u_n(x)} non è ortonormale in [0,+oo). Non può essere ortonormalizzato in tale intervallo (applicando il noto procedimento di Gram-Schmidt) in quanto la u_1(x)=1 per ogni x (altro aspetto inaccettabile). Potremmo fissare un intervallo limitato del tipo [0,a] e applicare Gram-Schmidt. Ma ciò cambierebbe comunque l'espressione analitica delle singole autofunzioni che darebbero luogo a una serie di Dirichlet differente.









In ogni caso il problema è interessante, perchè si tratta di trovare la giusta equazione d'onda la cui soluzione è proprio la nostra funzione, e probabilmente si tratta di un'equazione differenziale non lineare (al contrario delle equazioni di Schrödinger e D'Alembert)

Facendo un esempio banale, un'onda stazionaria si stabilisce quando un motociclista passa per un strada che fiancheggia edifici sufficientemente alti. Una tale onda è in grado di far scattare l'antifurto delle macchine parcheggiate. Un'onda stazionaria non ha proprietà di propagazione e nasce dall'interferenza tra le varie onde riflesse.

Matematicamente, le onde stazionarie sono soluzioni dell'equazione di D'Alembert (equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine, lineare). Per trovarle basta applicare il metodo di Fourier (separazione delle variabili). L'onda stazionaria descritta dalla zeta, NON verifica l'equazione di D'Alembert.

Per inciso, le onde stazionarie si ritrovano a scala submicroscopica: sono le funzioni d'onda dei famosi stati stazionari di un sistema quantistico. E anche in questo caso si procede per separazioni di variabili. La parte non dipendente dal tempo soddisfa un'equazione agli autovalori per un operatore hermitiano, per cui abbiamo un sistema di soluzioni ortonormale (per una nota proprietà degli operatori hermitiani). E per quanto visto, la parte "spaziale" della zeta (dopo aver parametrizzato le variabili come abbiamo visto) non verifica questa proprietà. C'è da aspettarsi che tale funzione sia soluzione di qualche equazione d'onda non lineare.

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