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[¯|¯] Ricostruzione della traiettoria di un proiettile attraverso rilevamento radar

settembre 7th, 2017 | by Marcello Colozzo |

proiettile,traiettoria,radar
Fig.1

All'istante t* il rilevamento radar di un proiettile in avvicinamento, restituisce le seguenti informazioni (si trascura la resistenza dell'aria):

  • il proiettile ha raggiunto la massima altezza della traiettoria parabolica alla velocità v*;
  • i parametri di posizionamento del proiettile in un piano verticale α contenente la traiettoria sono: la distanza L tra il proiettile all'istante t* e il radar R, e l'angolo di elevazione φ misurato da R a partire dal piano orizzontale.

Ricostuire la traiettoria completa del proiettile nell'ipotesi in cui il radar si trovi alla stessa quota del punto di sparo.
Soluzione
Fissiamo un riferimento cartesiano ortogonale R(Oxy) con origine nel punto di sparo del proiettile. Per ipotesi il radar si trova alla stessa quota del predetto punto, per cui le sue coordinate cartesiane sono (xR,0), come illustrato in fig.1 dove abbiamo supposto (senza perdita di generalità) xR>xQ. Nell'istante t* il proiettile si trova nel vertice M della parabola, ed è posizionato rispetto a R attraverso la coppia ordinata (L,φ) da cui possiamo determinare l'altezza massima

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Si osservi che l'equazione precedente è indipendente dalla posizione di R rispetto al punto di impatto Q. Ad esempio, se φ=π/2 è R=N per cui all'istante t* il proiettile è allo zenit del radar. Ricordiamo che le equazioni orarie del moto si scrivono:
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ove v0,θ sono rispettivamente la velocità di sparo e l'angolo di alzo. Derivando rispetto al tempo, si trovano le componenti cartesiane del vettore velocità

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A t=t* è vy=0 per cui

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Abbiamo così ottenuto una prima relazione che lega le grandezze ignote v0,θ al parametro noto v*. A questo punto sfruttiamo alcune relazioni note nella cinematica di un proiettile in assenza di resistenza dell'aria. Precisamente, la massima altezza

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e la gittata ovvero l'ascissa del punto Q:

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Il confronto tra appropriate equazioni porge

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e quindi il sistema

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