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[¯|¯] Integrando una ODE sfruttando la notazione di Leibnitz

agosto 16th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz
Fig. 1. Alcune curve integrali dell'equazione differenziale assegnata.


Integrare l'equazione differenziale:

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Soluzione
Siamo tentati di eseguire il cambio di variabile t=y/x. Ma in questo modo la sostituzione restituisce un integrale non esprimibile in forma chiusa. Quindi scriviamo

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

che è un'equazione differenziale nella funzione incognita x(y). Quindi poniamo
Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Inoltre

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz










Dal confronto delle due ultime equazioni:

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Cioè

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

che è a variabili separabili ed è priva di integrali costanti (rispetto alla funzione t(y)). Separando le variabili e integrando:

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Ponendo K=eC1/

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Cioè

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz

Introducendo la nuova costante di integrazione C=±(1/K), e ricordando che t=x/y, si ottiene l'integrale generale in forma implicita:

Equazioni differenziali,notazione di Leibnitz


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