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[¯|¯] Processi deterministici e processi aleatori in Meccanica quantistica

agosto 12th, 2017 | by Marcello Colozzo |

processi deterministici,meccanica quantistica,processi aleatori

Consideriamo un sistema quanto-meccanico costituito da una particella non relativistica di massa m vincolata a muoversi su una retta che assumiamo come asse x di un sistema di riferimento inerziale. Per ipotesi la particella è al più sottoposta a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), per cui l'operatore hamiltoniano è:

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La funzione d'onda ψ(x,t) della particella, soddisfa l'equazione di Schrödinger che in forma operatoriale si scrive:
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Dal momento che H compare come una costante, tale equazione si integra per separazione di variabili, dopo aver impostato il seguente problema di Cauchy:
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essendo t0 un istante iniziale assegnato, mentre H è lo spazio di Hilbert associato al sistema. Il predetto problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione:
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Tenendo conto della dipendenza funzionale di ψ da x, tale soluzione assume la forma:

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che può essere interpretata nel seguente modo: lo stato quantistico della particella al tempo t, è il risultato dell'applicazione del seguente operatore unitario:

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allo stato iniziale ψ0.
Conclusione

L'evoluzione temporale della funzione d'onda di un sistema quantistico è una processo deterministico. Più precisamente, è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert in sè, associato al sistema.

Si noti che l'unitarietà della trasformazione è vitale affinché si conservi la norma della funzione d'onda iniziale, il cui quadrato si assume pari a 1:

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Dall'interpretazione di Born segue la densità di probabilità nella posizione a t0:

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