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[¯|¯] Integrazione numerica di un'equazione differenziale del primo ordine

luglio 26th, 2017 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,integrazione numerica
Fig. 1.

Abbiamo esaminato fino ad ora equazioni differenziabili integrabili per quadrature, ovvero tramite il calcolo di un integrale. Ciò è possibile in tutti e soli i casi in cui sono coinvolte funzioni elementarmente esprimibili. Diversamente, l'equazione va integrata numericamente. Consideriamo, ad esempio, l'equazione differenziale:

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Soluzione
L'equazione assegnata è a variabili separabili ed è priva di integrali costanti giacché

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Separiamo quindi le variabili
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Integriamo primo e secondo membro:
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che non sono esprimibili nemmeno con le funzioni speciali della fisica matematica. Per procedere a una integrazione numerica, impostiamo il problema di Cauchy

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osservando nel frattempo che il grafico di sin(4x²)/(x-1)) compie infinite oscillazioni che non si smorzano, intorno al punto x=1. E ci aspettiamo un comportamento simile per l'integrale particolare che risolve il predetto problema di Cauchy. Infatti, integrando numericamente con mathematica otteniamo l'andamento riportato in fig. 1.


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