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[¯|¯] Integrale singolare di un'equazione differenziale

luglio 10th, 2017 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,integrali singolari,funzioni omogenee
Fig. 1. Alcune curve integrali dell'equazione differenziale assegnata


Integrare l'equazione differenziale:
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Soluzione
L'equazione è del tipo y'=f(y/x), per cui eseguiamo il cambio di variabile z=y/x, onde y=x*z=>y'=z+xz'. Ma y'=z+sqrt(1-z²), che sostituita nella precedente restituisce:

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che è a variabili separabili. Gli integrali costanti (rispetto a z) sono gli zeri della funzione sqrt(1-z²), cioè z=±1=>y=±x. Abbiamo quindi i due integrali particolari:

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Separando le variabili e integrando:
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Cioè
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Ripristinando la variabile y:

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Si noti che
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per cui gli integrali η± sono integrali singolari. Eseguendo uno studio di funzione si stabilisce che al variare della costante di integrazione da -oo a +oo, le curve integerali sono contenute nella regione

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Più precisamente, le curve oscillano logaritmicamente tra le bisettrici y=±x, quali curve integrali degli integrali singolari η±, come vediamo dalla fig. 1.


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