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[¯|¯] Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

luglio 9th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

Denotiamo con MR(n,n) lo spazio vettoriale (sul campo reale) delle matrici quadrate di ordine n. Se TR(n) è il sottospazio delle matrici a traccia nulla, dimostrare che dimTR(n)=n2-1.
Soluzione
Nell'esercizio abbiamo stabilito che TR(2) è un sottospazio vettoriale 3-dimensionale di MR(2,2). Segue che TR(n) è un sottospazio di MR(n,n) per ogni intero naturale n. Per determinarne la dimensione, osserviamo che

Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

cosicché il numero di parametri liberi è

Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

dove il termine n-1 conteggia gli elementi a11, a22,...,an-1,n-1, mentre n²-n enumera gli elementi fuori diagonale. D'altra parte il numero di parametri liberi è la dimensione di TR(n), onde

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