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[¯|¯] Esercizio sul prodotto scalare quale tensore covariante di rango 2

giugno 3rd, 2017 | by Marcello Colozzo |

prodotto scalare,forma bilineare,teorema di Sylvester
Fig. 1


Esercizio
Studiare la forma bilineare illustrata in fig. 1.
Soluzione
Risulta
prodotto scalare,forma bilineare,teorema di Sylvester

per cui la forma bilineare assegnata è un prodotto scalare. Per determinarne l'indice di positività conviene diagonalizzare la matrice G. Applichiamo quindi il procedimento standard di diagonalizzazione, determinando autovalori e autovettori. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico

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Quindi

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Le componenti degli autovettori corrispondenti all'autovalore -1 sono le soluzioni non banali del sistema omogeneo

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Una delle soluzioni è

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All'autovalore +1 di molteplicità algebrica 2 corrisponde il sistema di autovettori

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e a meno di un fattore di proporzionalità

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Abbiamo dunque la base {ui} di R³. La matrice G è diagonalizzata dalla matrice P di passaggio dalla base canonica alla nuova base.
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Precisamente
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da cui vediamo immediatamente che l'indice di positività del prodotto scalare è p=2. Dal momento che pScarica l'esercizio in pdf

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