[¯|¯] Paradossi percettivi e topologia

Aprile 10th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Riprendiamo la questione del post precedente circa la non orientabilità di alcuni spazi topologici. Una formica che si muove sulla superficie di una sfera, può muoversi "all'interno" o "all'esterno" della superficie. La superficie di una sfera è, quindi, uno spazio orientabile. L'orientabilità deriva dall'esistenza di un "verso di attraversamento": un insetto dotato di aculeo può attraversare la superficie dall'interno all'esterno o viceversa. In parole povere, il verso di attraversamento è l'analogo del verso di percorrenza di una curva. Tuttavia l'aspetto interessante è che una formica può muoversi solo all'interno o all'esterno (a meno di perforare la superficie). Ciò non accade, invece, per la formica di Möbius che percorre l'omonima superficie:

Se la formica parte da quella parte della superficie di Möbius che volge verso l'interno, a un certo punto del suo cammino si troverà all'esterno (senza perforare il nastro). Ciò perché la superficie di Möbius non è uno spazio orientabile, per cui non ha senso la distinzione interno/esterno.

Tutto questo richiama i paradossi percettivi generati da alcune litografie di Escer. Riferiamoci in particolare a Gallerie di stampe riportata in fig. 1. Tale litografia raffigura un ragazzo che dall’interno di una galleria di stampe contempla un quadro raffigurante il porto di una città del mediterraneo, come riportato nel libro di D. Hofstdtaer, Gödel, Escher, Bach. Un’eterna ghirlanda brillante. La litografia è realizzata in modo da creare una distorsione percettiva in cui la galleria che contiene il quadro è alla fine contenuta nel quadro medesimo.

Se il quadro è contenuto nella galleria, quest’ultima non può essere contenuta nel quadro. Eppure è ciò che si percepisce osservando la litografia. Se interpretiamo il tutto nel formalismo della teoria degli insiemi, andiamo incontro a un paradosso degno di questo nome. Infatti, se l’insieme A è contenuto nell’insieme B, l’insieme B non può essere contenuto nell’insieme A. Cerchiamo dunque di interpretare le inclusioni in modo differente: