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[¯|¯] Introduzione al concetto di Varietà differenziabile

Marzo 31st, 2017 | by Marcello Colozzo |

varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

Fig. 1


Le ambiguità riscontrate nella definizione di curva regolare, si risolvono in "un colpo solo" attraverso la nozione di varietà differenziabile. Per introdurre tale importante ente geometrico sono necessarie alcune premesse.

Lo spazio euclideo a n dimensioni

In questa esposizione seguiremo il testo Introduzione ai metodi della geometria differenziale dove viene utilizzata la convenzione degli "indici in alto" per denotare gli elementi delle n-ple ordinate che compongono l'insieme Rn:

varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

con l'ulteriore convenzione di indicare con x (non grassettato) il generico elemento del predetto insieme. Cioè
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

Ciò premesso, definendo la funzione distanza:
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

L'insieme Rn assume la struttura di spazio metrico. Chiamiamo tale spazio spazio euclideo a n dimensioni. Inoltre, la metrica induce in Rn una struttura di spazio topologico. In tale topologia gli aperti sono gli insiemi di punti:
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per un assegnato ξ=(ξ¹,...,ξn) di Rn e R>0 scelto ad arbitrio.









Se nel predetto spazio topologico introduciamo le leggi di composizione:
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

vediamo facilmente che esse verificano gli assiomi di spazio vettoriale, per cui abbiamo in definitiva uno spazio vettoriale topologico.
Le nozioni appena esposte possono essere riassunte nel seguente schema:
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

***

Sia A un aperto dello spazio vettoriale topologico Rn.
Definizione
Una funzione:
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

si dice analitica in x0 (puntto di A) se è sviluppabile in serie in ogni intorno di x0. Se f è analitica in ogni x di A, diremo che è analitica in A.


Definizione

Una funzione f analitica nell'aperto A si dice di classe ω su A e si scrive

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L'appartenenza alla classe Cω implica l'appartenenza alla classe Coo, dove
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essendo Ck l'insieme delle funzioni continue in A ed ivi dotate di derivate parziali continue di ordine <=k. Per quanto precede:
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Ma non viceversa:

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Ad esempio, nello spazio vettoriale topologico R¹:
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così definita
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che è continua a sinistra in x=0. Per il comportamento a destra rileviamo
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Per cui la funzione è continua in x=0 e, quindi, in R. La derivata prima è:
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Calcoliamo

varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

Eseguendo il cambio di variabile t=x-1:
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onde
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Cioè f'(x) è continua in x=0 e, quindi, in R. Analoga conclusione per f(k)(x) per ogni k intero naturale. Ne consegue
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Tuttavia se sviluppiamo in serie in un intorno di x=0:
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D'altra parte
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Quindi
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Definizione
Nello spazio vettoriale topologico Rn sono definite n applicazioni:
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che si dicono proiezioni coordinate.

Sia data l'applicazione
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essendo A un aperto di Rn. Riesce:
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La derivata rispetto alla variabile xj è
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A tale applicazione possiamo associare n funzioni
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mediante la composizione:
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avendosi
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Risulta manifestamente
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Ad esempio, nello spazio vettoriale topologico R², sia data l'applicazione:
varietà differenziabile,spazio topologico,spazio metrico

per cui F è di classe Coo su R². Riesce
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con fk di classe Coo su R². In fig. 1 riportiamo il grafico delle funzioni fk(x1,x2).



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