[¯|¯] Oscillazioni smorzate con legge esponenziale. Decremento logaritmico
Marzo 21st, 2017 | by Marcello Colozzo |Caso oscillatorio smorzato (b < bcrit)
Prima di affrontare il caso n. 3 (oscillazioni smorzate), sintetizziamo i risultati raggiunti , in modo da comprendere la fisica che c'è dietro questo problema matematico. Innanzitutto riscriviamo l'equazione differenziale del moto nella forma:
Ricordiamo che τ=(2m)/b è la costante di tempo della resistenza passiva, quindi delle forze di attrito. Abbiamo poi introdotto una nuova grandezza avente le dimensioni di un tempo:
legata al periodo T0 delle oscillazioni armoniche in assenza di attrito, dalla relazione:
In altri termini, la grandezza τ0 fissa la scala dei tempi delle oscillazioni caratteristiche del sistema. Ne consegue che le condizioni di aperiodicità e di criticità si riscrivono:
τ<τ0 significa che le forze di attrito sono più "efficienti" della forza elastica, giacché hanno una scala dei tempi minore. Per τ=τ0 si ha, invece, un equilibrio che da luogo al caso "critico" in cui il moto non è ancora oscillante.
È facile allora immaginare che la condizione
determina un moto oscillatorio, comunque smorzato dalle forze di attrito. Abbiamo poi la condizione estrema:
Cioè per grandi valori di τ (rispetto a τ0), quindi per piccoli valori del coefficiente di viscosità b, le soluzioni dell'equazione differenziale del moto si comportano come quelle dell'equazione
per cui si ha un'oscillazione armonica di pulsazione ω0=τ0-1. Nel limite opposto:
Cioè per piccoli valori di τ (rispetto a τ0), il moto è completamente dominato dalle forze di attrito.
Ciò premesso, consideriamo il caso
Con tale condizione l'equazione caratteristica ammette due radici complesse coniugate:
Osservazione. In questo lavoro utilizziamo il simbolo j per denotare l"unità immaginaria. Rammentiamo che tale convenzione è d'uso in Elettrotecnica ed in Elettronica per non creare confusione con il simbolo i che denota l'intensità di corrente.
Riscriviamo
essendo:
una grandezza con le dimensioni di una pulsazione. Risulta:
Cioè in assenza di attrito, ω è la pulsazione caratteristica. Un sistema fondamentale di integrali dell'equazione differenziale assegnata è
Pertanto l'integrale generale si scrive
dove K1,K2 sono costanti arbitrarie. Sviluppando gli esponenziali complessi utilizzando la nota formula di Eulero, si ottiene:
cosicché:
Cioè
avendo definito le nuove costanti di integrazione:
Derivando la x(t):
Le condizioni iniziali
implicano
che sostituite nell'integrale generale:
Per studiare l'andamento della funzione x(t) è conveniente scrivere la sua espressione nel seguente modo:
dove A0>0 ha le dimensioni di una lunghezza, mentre φ è la fase iniziale. Deve essere:
Sviluppando il coseno che compare a primo membro con le formule di addizione degli archi, si ha:
Riesce:
Cioè
Dal momento che
si ha per il teorema dei carabinieri:
segue poi che il grafico di x(t) è inviluppato dalle curve esponenziali ±A0e-t/τ. La funzione x(t) presenta un numero infinito numerabile di massimi relativi nei punti tk tali che
da cui
Quindi
Per un assegnato k, il massimo relativo successivo è
essendo
Abbiamo
ovvero
Passando ai logaritmi:
Poniamo
che non è il periodo di x(t) in quanto non periodica, bensì il tempo necessario affinchè l'ascissa dell'oscillatore passi dal valore x(tk) al valore x(tk+1)
ed è pertanto una costante caratteristica dell'oscillatore, che si chiama decremento logaritmico. In figura riportiamo un tipico andamento:
Tags: attrito, decremento logaritmico, oscillatore armonico smorzato, resistenza passiva
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