» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Funzioni lipschitziane ed equazioni differenziali del moto

Marzo 8th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Introduzione. La condizione di Lipschitz

Definizione (Condizione di Lipschitz)

Sia f:X->R una una funzione reale di una variabile reale

Il numero reale positivo α si dice coefficiente di Lipschitz.

Le funzioni che verificano la condizione appena vista si dicono lipschitziane. Sussiste il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema
Se f è lipschitziana in X, allora f è ivi uniformemente continua
Osservazione
La condizione di Lipschitz si può scrivere come

In altri termini, una funzione lipschitziana f ha i rapporti incrementali limitati.

La condizione di Lipschitz si generalizza alle funzioni di più variabili. Quindi consideriamo:

Definizione

essendo A_h la proiezione dell'insieme di definizione A di f sull'asse coordinato x_h.

Il problema di Cauchy nel caso dell'equazione differenziale del moto di una particella

Consideriamo una particella che si muove lungo una retta sotto l'azione di una forza nota. Fissato un riferimento cartesiano R(Ox) sulla retta che sia in grado di definire un sistema di riferimento inerziale K, la seconda legge di Newton si scrive:

dove la funzione a secondo membro è il modulo della forza agente sulla particella. Si noti che tale ente fisico dipende (in generale) oltre che dal tmpo misurato dall'orologio di K, dall'ascissa x e dalla velocità scalare della particella.

Se F dipende solo dalla variabile x si ha che la funzione reale F(x) della variabile reale x definisce un campo di forze. Tale circostanza determina univocamente la classe di infinite primitive:

Una qualunque primitiva della funzione F(x) si dice potenziale del campo di forze F(x). Si noti che la funzione F(x) potrebbe non essere elementarmente integrabile; tuttavia la definizione precedente non perde di validità, almeno in linea di principio.

La funzione

è l'energia potenziale della particella che in tal caso conserva l'energia meccanica:

da qui la locuzione sistema conservativo che racchiude tutti e soli i sistemi dinamici (particelle) soggetti a forze derivanti da un potenziale assegnato. Un esempio canonico è offerto dalle forze elastiche:

ove k>0 è la costante elastica. Il potenziale è

Qui C è una costante di integrazione arbitraria. Riesce:

per cui ponendo lo zero del potenziale in C, si ha

e quindi l'energia potenziale

Abbiamo così ottenuto il ben noto oscillatore armonico unidimensionale, la cui energia meccanica è

avendo introdotto la pulsazione:

Un'altra classe di forze interessanti sono le cosiddette resistenze dinamiche:

dove la funzione è monotonamente decrescente. In regime lineare

essendo b>0 un coefficiente di proporzionalità che ci permette di definire la mobilità della particella:

giacché le resistenze dinamiche si oppongono al moto, e come tali modellizzano le forze di attrito o, più in generale, le forze viscose (si pensi al moto di una particella in un fluido viscoso). Un'altra definizione riguarda le forze che non dipendono né dalla posizione né dalla velocità della particella, ma solo dal tempo t. Tali oggetti si prestano ad una modellizzazione di forze aleatorie come quelle che agiscono su una particella che si muove in un fluido viscoso (moto browniano).

Ritornando al caso generale, si ha che l'equazione del moto può essere scritta nella forma:

avendo definito la forza per unità di massa.

In tal modo abbiamo ottenuto ciò che in Analisi Matematica si chiama equazione differenziale del secondo ordine in forma normale, cioè risolta rispetto alla derivata di ordine massimo. A questo punto possiamo applicare le teoria delle equazioni differenziali ordinarie allo studio del moto di particelle che si muovono unidimensionalmente. Come è noto, in casi come questi si è interessati a soluzioni che soddisfano assegnate condizioni iniziali (posizione e velocità in un istante iniziale dato). Ricordiamo una serie di importanti teoremi:
Teorema Teorema di esistenza ed unicità o di Cauchy-Lipschitz

Sia dato il problema di Cauchy:

dove F:D->R, essendo D un dominio di R³ tale che D=[t1,t2]×R².
Hp. La funzione F è continua in D ed è lipschitziana rispetto alle variabili x,x. Cioè:

Th.

essendo I(t0)un intorno di t0 contenuto in [t1,t2].

In altri termini, una condizione sufficiente per l'esistenza e l'unicità delle soluzioni del problema di Cauchy assegnato, è che f sia lipchitiziana rispetto alle x e alla velocità scalare.
Fisicamente, il teorema di esistenza ed unicità esprime il cosiddetto determinismo fisico: assegnata la legge della forza agente sulla particella i.e. la funzione

lipschitziana rispetto alle variabili x,xpunto, l'evoluzione dinamica del sistema è univocamente determinata dalle condizioni iniziali:

In meccanica la coppia ordinata

definisce lo stato meccanico. Ne consegue che lo stato meccanico a tutti i tempi è univocamente determinato dallo stato meccanico iniziale.

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Tags: condizione di lipschitz, Equazioni differenziali, Problema di Cauchy

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