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[¯|¯] Valor medio e valore efficace di una funzione

Marzo 4th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Generalizziamo le nozioni esposte nel post precedente.

Assegnato l'intervallo [a,b] quale sottoinsieme di R, poniamo

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Come è noto, C([a,b]) assume la struttura di spazio vettoriale su R, introducendo le usuali leggi di composizione:

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e relativi assiomi. Tale spazio vettoriale può essere strutturato come spazio euclideo introducendo la forma bilineare:

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che verifica gli assiomi di prodotto interno (o prodotto scalare). È facile persuadersi che tali assiomi sono automaticamente verificati dalla seguente forma:

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D'altra parte tale definizione è ben posta, giacché la continuità delle funzioni f e g garantisce l'esistenza dell'integrale definito che compare a secondo membro. Si osservi che tale forma definisce il prodotto scalare standard, in quanto è la naturale generalizzazione al continuno del prodotto scalare standard di uno spazio euclideo n-dimensionale

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poiché la variabile discreta k viene rimpiazzata dalla variabile continua x. L'introduzione del prodotto scalare ci permette di definire ortogonalità e lunghezza (norma) degli elementi di C([a,b]):

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Come è ben noto dall'analisi funzionale, per definire una metrica (i.e. funzione distanza) non è necessario introdurre un prodotto scalare. È però sufficiente; infatti è facile convincersi che la grandezza

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verifica gli assiomi della funzione distanza. Per inciso, ancora una volta siamo in presenza di una generalizzazione al continuo. Infatti, in uno spazio euclideo n-dimensionale, la distanza tra due punti la cui posizione è definita dai vettori:

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è
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che ammette l'ovvia generalizzazione al continuo:
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Ciò premesso, la disuguaglianza di Schwartz lega il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori alle rispettive norme. Sussiste infatti il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)
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In particolare

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La seconda parte del teorema è interessante, nel senso che vale l'uguaglianza solo se uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure nel caso di parallelismo di f e g. Consideriamo ora la media integrale di f in [a,b]:

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che chiamiamo semplicemente valore medio di f. Per il teorema della media:

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Definizione 1
Chiamiamo valore efficace di f in [a,b] il numero reale non negativo

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Da tale definizione si ha la seguente relazione

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Cioè il quadrato del valore efficace di f è il valor medio di f². Tali grandezze si esprimono attraverso il prodotto scalare, poichè

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Quindi

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che ci consentono di dimostrare il seguente corollario:
Corollario

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Dimostrazione
Per la disuguaglianza di Schwartz
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che elevata al quadrato porge

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Ma
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per cui

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Per quanto precede
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onde l'asserto.
c.d.d.

Ne concludiamo che il valor medio coincide con il valore efficace se e solo se la funzione è costante.

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