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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea

Marzo 4th, 2017 | by Marcello Colozzo |

analisi funzionale,disuguaglianza di Schwartz,funzione dissipativa,potenza dissipata,effetto joule



Nel post precedente abbiamo introdotto la nozione di valore efficace di una funzione continua. Procediamo ora con la seguente definizione:
Definizione 1
Comunque prendiamo un elemento f dello spazio funzionale C([a,b]), chiamiamo funzione dissipativa associata a f l'elemento di C([a,b]) dato da

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essendo ß un numero reale positivo assegnato.

Definizione 2
La potenza istantanea dissipata dalla Rf(x) è

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Da ciò segue che il valor medio di Wf(x) è:
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Cioè
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Per esplicitare il significato di tali locuzioni consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x in un campo di forze F(x) e sotto l'azione di una forza viscosa, come illustrato in figura:

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Diagramma delle forze agenti sulla particella. F è la forza attiva, mentre R è la resistenza passiva (forza viscosa).


In regime lineare
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dove b>0 e v è il vettore velocità. Per la seconda legge di Newton:
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essendo i il versore dell'asse x. Proiettando tale equazione vettoriale sull'asse x, otteniamo l'equazione scalare:

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Cioè
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avendo definito il coefficiente di smorzamento per unità di massa:

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Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale lineare del primo ordine in v(t). Per F=0 tale equazione è omogenea, per cui abbiamo il seguente problema di Cauchy:

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la cui unica soluzione è

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dove

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è una costante di tempo. Precisamente:

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L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico, giacché stiamo considerando F(x)=0. Quindi
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Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

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viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è

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Se ci riferiamo all'unità di massa:

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il cui valor medio nel tempo è:

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dove
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L'esempio appena visto giustifica le definizioni astratte date in precedenza. Inoltre per quanto precede, se v=v(t) necessariamente si ha
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Da ciò segue che se v(t) non è una costante, inevitabilmente si ha una potenza dissipata mediamente non nulla. Ci si può tuttavia chiedere se esistono elementi v(t) non appartenenti allo spazio funzionale C([0,T]) per i quali è violata la disuguaglianza di Schwartz, per cui non si avrebbe dissipazione di energia (in media).

Un altro esempio può essere preso dall'elettrologia, rammentando una nota analogia elettromeccanica, riassunta dalla seguente tabella:

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Ciò implica che a un'equazione meccanica che definisce il valore assoluto della forza viscosa per unità di massa:

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corrisponde
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dove R>0 ha le dimensioni di una resistenza elettrica (Ohm), e definisce la caduta di tensione ai capi di un resistore. In regime variabile, la potenza istantanea dissipata per effetto Joule è:

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che mediata su un tempo sufficientemente lungo T (rispetto al tempo caratteristico del sistema) è:

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dove ieff è il valore efficace della corrente, definita nel solito modo:

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Ne consegue che comunque prendiamo i(t) in C([0,T]) si ha:
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dove il segno di uguale sussiste se e solo se i(t) è costante. Quindi anche nel caso elettrico, in presenza di una resistenza ohmica i processi dissipativi sono inevitabile. C'è comunque da chiedersi se ciò è valido anche per correnti i(t) rappresentate da funzioni che non siano continue in [0,T].

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