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[¯|¯] Parte principale di un infinito

Febbraio 28th, 2017 | by Marcello Colozzo |

infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore



Siano dati gli infiniti (in x0) f(x) e g(x). Se f(x) è di ordine a rispetto a g(x):

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In tale ipotesi poniamo
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Riesce
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ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x0). Definiamo

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Quindi
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Se

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segue che r(x) è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g(x)). Infatti:
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Tenendo conto della formula che definisce ε(x):
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da cui
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Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione

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In particolare se g(x) è l'infinito di riferimento v(x), la formula di decomposizione diventa:

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Proposizione
La parte principale di un infinito di ordine α è a sua volta un infinito di ordine α.
Dimostrazione
Abbiamo
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Per la posizione fatta all'inizio:

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onde l'asserto.
c.d.d.

Ne consegue che un qualunque infinito di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine r(x) che se è un infinito, è di ordine maggiore di α. Se f(x) e v(x) sono equivalenti, ovvero se

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la formula di decomposizione si scrive:
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