Annunci AdSense






[¯|¯] Parte principale di un infinitesimo

febbraio 27th, 2017 | by Marcello Colozzo |

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore



Siano dati gli infinitesimi (in x0) f(x) e g(x) non identicamente nulli intorno a tale punto. Se f(x) è di ordine α rispetto a g(x):

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

In tale ipotesi poniamo
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Riesce
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x0). Da ciò segue che la funzione

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

è un infinitesimo di ordine maggiore di α rispetto a g(x). Infatti:

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

da cui
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinitesimo. Sussiste la definizione

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

In particolare se g(x) è l'infinitesimo di riferimento u(x), la formula di decomposizione diventa:

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Proposizione
La parte principale di un infinitesimo di ordine α è a sua volta un infinitesimo di ordine α.
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla definizione di parte principale.







Ne consegue che un qualunque infinitesimo di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine di ordine maggiore di α. In un intorno "sufficientemente piccolo" di x0 è lecito trascurare il termine di ordine superiore r(x). Cioè

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

essendo X l'insieme di definizione della funzione f(x). Se f(x) e u(x) sono equivalenti, ovvero se
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

la formula di decomposizione si scrive:

infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

onde
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

In tal caso è consuetudine (specie nelle applicazioni) asserire che in un intorno di x0 la funzione f(x) "va come" u(x).










No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio