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[¯|¯] Scala di infiniti di ordine indeterminato

Feb 26th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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In questo numero introduciamo la nozione di scala di infiniti.

Per quanto precede, per x->+oo la funzione x*lnx è un infinito di ordine indeterminato. Precisamente, è è un infinito di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1. Consideriamo ora la seguente funzione

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Risulta
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Al solito, determiniamo l'ordine di infinito assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Pertanto

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Distinguiamo i casi:

  1. 0<α<1
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  2. α=1
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  3. α>1
    Eseguiamo il cambio di variabile t=ln x, per cui
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    Segue
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    giacché eλt è un infinito di ordine infinitamente grande.

Ne consegue che x·lnx·lnlnx è un un infinito (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1.







È istruttivo confrontare gli infiniti

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Risulta

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cosicché x·ln x·lnlnx è di ordine superiore a x·lnx. Lo step successivo consiste nel "costruire" l'infinito:

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giungendo ai medesimi risultati precedente. Inoltre:
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onde

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è di ordine superiore a

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L'iterazione del procedimento restituisce la seguente scala di infiniti:
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Tale insieme è infinito numerabile e ogni suo elemento è un infinito di ordine superiore al precedente.










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