[¯|¯] Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

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[¯|¯] Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

Febbraio 23rd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Per determinare il limite del rapporto degli infinitesimi f(x) e g(x) può essere utilizzato un potente teorema:
Teorema 1 (Principio di sostituzione degli infinitesimi)
Ipotesi

Siano f(x) e g(x) infinitesimi (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo

con f₁(x),f₂(x),g₁(x),g₂(x) tali che f₂(x) è di ordine superiore a f₁(x), e g₂(x) è di ordine superiore a g₁(x).
Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.

Tesi
Il rapporto f₁(x)/g₁(x) è regolare in x0 e si ha

Dimostrazione
Per ipotesi esiste il limite (finito o infinito):
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Segue

Per ipotesi

onde l'asserto.
c.d.d.
Da tale teorema segue che nel calcolo del limite
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è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infinitesimi di ordine superiore.

Per quanto riguarda gli infiniti si dimostra immediatamente il seguente teorema:
Teorema 2 (Principio di sostituzione degli infiniti)
Ipotesi

Siano f(x) e g(x) infiniti (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo

con f₁(x),f₂(x),g₁(x),g₂(x) tali che f₂(x) è di ordine inferiore a f₁(x), e g₂(x) è di ordine inferiore a g₁(x).
Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.