Per determinare il limite del rapporto degli infinitesimi f(x) e g(x) può essere utilizzato un potente teorema: Teorema 1 (Principio di sostituzione degli infinitesimi) Ipotesi
Siano f(x) e g(x) infinitesimi (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo
con f1(x),f2(x),g1(x),g2(x) tali che f2(x) è di ordine superiore a f1(x), e g2(x) è di ordine superiore a g1(x).
Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.
Tesi
Il rapporto f1(x)/g1(x) è regolare in x0 e si ha
Dimostrazione
Per ipotesi esiste il limite (finito o infinito):
Segue
Per ipotesi
onde l'asserto. c.d.d.
Da tale teorema segue che nel calcolo del limite
è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infinitesimi di ordine superiore.
Per quanto riguarda gli infiniti si dimostra immediatamente il seguente teorema: Teorema 2 (Principio di sostituzione degli infiniti) Ipotesi
Siano f(x) e g(x) infiniti (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo
con f1(x),f2(x),g1(x),g2(x) tali che f2(x) è di ordine inferiore a f1(x), e g2(x) è di ordine inferiore a g1(x).
Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.
Tesi
Il rapporto f1(x)/g1(x) è regolare in x0 e si ha
Da tale teorema segue che nel calcolo del limite
è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infiniti di ordine inferiore.