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[¯|¯] Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

Febbraio 23rd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Per determinare il limite del rapporto degli infinitesimi f(x) e g(x) può essere utilizzato un potente teorema:
Teorema 1 (Principio di sostituzione degli infinitesimi)
Ipotesi

  1. Siano f(x) e g(x) infinitesimi (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo
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    con f1(x),f2(x),g1(x),g2(x) tali che f2(x) è di ordine superiore a f1(x), e g2(x) è di ordine superiore a g1(x).
  2. Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.

Tesi
Il rapporto f1(x)/g1(x) è regolare in x0 e si ha

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Dimostrazione
Per ipotesi esiste il limite (finito o infinito):
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Segue
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Per ipotesi

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onde l'asserto.
c.d.d.
Da tale teorema segue che nel calcolo del limite
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è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infinitesimi di ordine superiore.







Per quanto riguarda gli infiniti si dimostra immediatamente il seguente teorema:
Teorema 2 (Principio di sostituzione degli infiniti)
Ipotesi

  1. Siano f(x) e g(x) infiniti (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo
    infinitesimi,infiniti,principio di sostituzione degli infinitesimi,ordine

    con f1(x),f2(x),g1(x),g2(x) tali che f2(x) è di ordine inferiore a f1(x), e g2(x) è di ordine inferiore a g1(x).
  2. Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.

Tesi
Il rapporto f1(x)/g1(x) è regolare in x0 e si ha

infinitesimi,infiniti,principio di sostituzione degli infinitesimi,ordine

Da tale teorema segue che nel calcolo del limite

infinitesimi,infiniti,principio di sostituzione degli infinitesimi,ordine

è lecito trascurare a numeratore e a denominatore gli infiniti di ordine inferiore.










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