[¯|¯] Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine

Febbraio 22nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili



Se x0 è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

che si identifica con la classe degli infiniti in x0.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infiniti della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

Si presentano i seguenti casi:

  1. Il rapporto è un infinitesimo:
    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    Significa che |g(x)| tende a +oo più rapidamente di |f(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x)..
  2. Il rapporto è un infinito:
    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    Significa che |f(x)| tende +oo più rapidamente di |g(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
  3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    Significa che |f(x)| e |g(x)| tendono a +8 con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
  4. Il rapporto è non regolare
    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    Esempio 1
    Siano
    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    infinitesimi della classe J(0). Abbiamo

    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    e tale limite non esiste.







    In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto |f(x)|/|g(x)|, calcolando:

    infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

    per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi:

    • infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

      Qui f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
    • infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

      e diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x).
    • Il rapporto|f(x)|/|g(x)| è non regolare
      infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

      ma è definitivamente limitato (intorno a x0) tra due numeri positivi:
      infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

      In tale circostanza diremo che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.

In tutti i casi esaminati gli infiniti assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabili se si verifica la negazione della condizione precedente i.e. il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è definitivamente limitato intorno a x0:

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

Fa eccezione il seguente caso:

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

Cioè se il rapporto |f(x)|/|g(x)| ha, intorno a x0, per estremo inferiore lo zero ed è limitato superiormente. In tale circostanza si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x). In maniera simile:
infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili

ovvero il rapporto |f(x)|/|g(x)| è definitivamente limitato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f(x) è un infinitesimo di ordine non superiore a g(x).










No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)

Tags: , , , ,

Articoli correlati

Commenta l'esercizio