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[¯|¯] Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine

febbraio 22nd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Se x0 è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme
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che si identifica con la classe degli infiniti in x0.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infiniti della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

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Si presentano i seguenti casi:

  1. Il rapporto è un infinitesimo:
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    Significa che |g(x)| tende a +oo più rapidamente di |f(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x)..
  2. Il rapporto è un infinito:
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    Significa che |f(x)| tende +oo più rapidamente di |g(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
  3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
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    Significa che |f(x)| e |g(x)| tendono a +8 con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
  4. Il rapporto è non regolare
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    Esempio 1
    Siano
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    infinitesimi della classe J(0). Abbiamo

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    e tale limite non esiste.







    In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto |f(x)|/|g(x)|, calcolando:

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    per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi:

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      Qui f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
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      e diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x).
    • Il rapporto|f(x)|/|g(x)| è non regolare
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      ma è definitivamente limitato (intorno a x0) tra due numeri positivi:
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      In tale circostanza diremo che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.

In tutti i casi esaminati gli infiniti assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabili se si verifica la negazione della condizione precedente i.e. il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è definitivamente limitato intorno a x0:

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Fa eccezione il seguente caso:

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Cioè se il rapporto |f(x)|/|g(x)| ha, intorno a x0, per estremo inferiore lo zero ed è limitato superiormente. In tale circostanza si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x). In maniera simile:
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ovvero il rapporto |f(x)|/|g(x)| è definitivamente limitato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f(x) è un infinitesimo di ordine non superiore a g(x).










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