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[¯|¯] Infinitesimi ed infiniti (Lezione 1)

Febbraio 21st, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Sia f una funzione reale di una variabile reale definita in un sottoinsieme X di R:

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Se x0 è un punto di accumulazione per X, sussistono le seguenti definizioni:
Definizione 1
f è un infinitesimo in x0 (o per x->x0) se
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Definizione 2
f è un infinito in x0 (o per x->x0) se

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Alcuni esempi di infinitesimi:
Esempio 1
La funzione f(x)=sinx è un infinitesimo negli infiniti punti
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Esempio 2
La funzione f(x)=x*sin(1/x) non è definita in x=0, tuttavia:
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per cui x*sin(1/x) è un infinitesimo nel predetto punto.
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Esempio 3
La funzione f(x)=1/x è un infinitesimo per x->+oo e per x.>-oo, giacché:

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Alcuni esempi di infiniti:

Esempio 4
La funzione f(x)=csc x è un infinito negli infiniti punti

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Esempio 5
La funzione f(x)=1/x è un infinito in x=0.

Infinitesimi confrontabili. Il concetto di ordine

Se x0 è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme

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che si identifica con la classe degli infinitesimi in x0 non definitivamente nulli intorno a tale punto.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infinitesimi della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

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Si presentano i seguenti casi:

  1. Il rapporto è un infinitesimo:
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    Significa che f(x) tende a zero più rapidamente di g(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x).
  2. Il rapporto è un infinito:
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    Significa che g(x) tende a zero più rapidamente di f(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x).
  3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
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    Significa che f(x) e g(x) tendono a zero con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine.
  4. Il rapporto è non regolare
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    Esempio 6
    Siano
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    infinitesimi della classe I(0). Abbiamo

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    e tale limite non esiste.








    In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto |f(x)|/|g(x)|, calcolando:
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    per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi:

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      Qui f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine.
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      e diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x).
    • Il rapporto|f(x)|/|g(x)| è non regolare
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      ma è definitivamente limitato (intorno a x0) tra due numeri positivi:
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      In tale circostanza diremo che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine.

In tutti i casi esaminati gli infinitesimi assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabili se si verifica la negazione della condizione precedente i.e. il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è definitivamente limitato intorno a x0:

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Fa eccezione il seguente caso:

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Cioè se il rapporto |f(x)|/|g(x)| ha, intorno a x0, per estremo inferiore lo zero ed è limitato superiormente. In tale circostanza si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x). In maniera simile:
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ovvero il rapporto |f(x)|/|g(x)| è definitivamente limitato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f(x) è un infinitesimo di ordine non superiore a g(x).









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