[¯|¯] Infinitesimi ed infiniti (Lezione 1)
Febbraio 21st, 2017 | by Marcello Colozzo |Sia f una funzione reale di una variabile reale definita in un sottoinsieme X di R:
Se x0 è un punto di accumulazione per X, sussistono le seguenti definizioni:
Definizione 1
f è un infinitesimo in x0 (o per x->x0) se
Definizione 2
f è un infinito in x0 (o per x->x0) se
Alcuni esempi di infinitesimi:
Esempio 1
La funzione f(x)=sinx è un infinitesimo negli infiniti punti
Esempio 2
La funzione f(x)=x*sin(1/x) non è definita in x=0, tuttavia:
per cui x*sin(1/x) è un infinitesimo nel predetto punto.
Esempio 3
La funzione f(x)=1/x è un infinitesimo per x->+oo e per x.>-oo, giacché:
Alcuni esempi di infiniti:
Esempio 4
La funzione f(x)=csc x è un infinito negli infiniti punti
Esempio 5
La funzione f(x)=1/x è un infinito in x=0.
Infinitesimi confrontabili. Il concetto di ordine
Se x0 è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme
che si identifica con la classe degli infinitesimi in x0 non definitivamente nulli intorno a tale punto.
Ciò premesso, comunque prendiamo due infinitesimi della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:
Si presentano i seguenti casi:
- Il rapporto è un infinitesimo:
Significa che f(x) tende a zero più rapidamente di g(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x). -
Il rapporto è un infinito:
Significa che g(x) tende a zero più rapidamente di f(x). Diremo allora che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x). -
Il rapporto converge a un limite non nullo:
Significa che f(x) e g(x) tendono a zero con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine. - Il rapporto è non regolare
Esempio 6
Siano
infinitesimi della classe I(0). Abbiamo
e tale limite non esiste.
In casi come questi spostiamo la nostra attenzione sul rapporto |f(x)|/|g(x)|, calcolando:
per cui si presenta uno dei seguenti sottocasi:-
Qui f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine. -
e diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x). -
Il rapporto|f(x)|/|g(x)| è non regolare
ma è definitivamente limitato (intorno a x0) tra due numeri positivi:
In tale circostanza diremo che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine.
-
In tutti i casi esaminati gli infinitesimi assegnati si dicono confrontabili. Viceversa, si dicono non confrontabili se si verifica la negazione della condizione precedente i.e. il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è definitivamente limitato intorno a x0:
Fa eccezione il seguente caso:
Cioè se il rapporto |f(x)|/|g(x)| ha, intorno a x0, per estremo inferiore lo zero ed è limitato superiormente. In tale circostanza si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x). In maniera simile:
ovvero il rapporto |f(x)|/|g(x)| è definitivamente limitato inferiormente ma non superiormente. Ne consegue che f(x) è un infinitesimo di ordine non superiore a g(x).
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