Determinismo fisico e processi di Entanglement Quantistico

Dicembre 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1. Immagine tratta da questo sito web.

«Accadimenti» ed «eventi». Sembra un gioco di parole, anzi sono sinonimi. Tuttavia, di seguito assegneremo a tali termini significati differenti in relazione al principio di causalità che il building-block della fisica (si pensi alla Relatività Speciale in cui i processi fisici si realizzano nel cono-luce attraverso una concatenazione di «eventi». Incidentalmente, si parla di "regione causalmente connessa".). Di contro, gli «accadimenti» sono simultanei e caratterizzano i processi di Entanglement quantistico.

Immaginiamo un enorme puzzle, in cui pezzi sono distribuiti in maniera disordinata che poi magicamente si incasellano spontaneamente. Questa è un'ottima metafora per comprendere l'entanglement anche se i singoli pezzi nella realtà possono essere lontani anni luce. L'importante è però, il significato che emerge dal disegno del puzzle. I pezzi comunicano attraverso una "causalità orizzontale", cioè esiste un «principio di causa ed effetto praticamente istantaneo» (da non prendere proprio alla lettera, altrimenti si viola la Relatività speciale). Contropposto a questo troviamo il classico principio di causalità "verticale" ossia distribuito nel tempo (PRIMA la causa, DOPO l'effetto).
La causalità orizzontale ci dà una "istantanea" della configurazione di universo, e potrebbe essere proprio quest'ultima ad agire da START UP per l'effettiva evoluzione DINAMICA dell'universo, nel framework della causalità verticale (e la Relatività è salva).
In poche parole, causalità orizzontale e causalità verticale altro non sono che due aspetti diversi di un medesimo processo di evoluzione dinamica/temporale. Sono i paradigmi utilizzati a separarli fino a renderli incompatibili.

Approfondiamo la questione:

Il principio di causalità in meccanica classica non relativistica

In sostanza, il principio di causalità esprime l'evoluzione dinamica di una grandezza deterministica x(t) che risolve un problema di Cauchy del tipo:

Nella maggior parte dei casi, l'ordine massimo dell'operazione di derivazione è n=2. I valori assunti da x in un generico istante t sono univocamente determinati dallo stato iniziale che per n=2 è rappresentato dalla coppia ordinata (u0,u1). Per fissare le idee, la grandezza x può essere l'ascissa di una particella di massa m che compie un moto unidimensionale in una regione sede di un campo di forze F(t,x,x') per cui l'equazione differenziale del predetto problema di Cauchy esprime matematicamente il secondo principio della dinamica

Il principio di causalità in meccanica classica relativistica

Rimandiamo a quest'articolo.

Il principio di causalità in meccanica quantistica non relativistica

Per un sistema quantistico non relativistico Sq, l'evoluzione dinamica è governata dall'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, che in forma operatoriale si scrive:


dove H è l'operatore hamiltoniano di Sq e |ψ> il vettore di stato scritto in notazione di Dirac, appartenente allo spazio di Hilbert H associato al sistema. Nell'ipotesi in cui l'hamiltoniano non dipende esplicitamente dal tempo, l'equazione differenziale scritta sopra si risolve facilmente. Innanzitutto impostiamo il seguente problema di Cauchy:


per un assegnato stato iniziale


normalizzato a 1:

L'unica soluzione del predetto problema è:

essendo

l'operatore di evoluzione temporale che è manifestamente unitario, in modo da conservare la norma del vettore di stato (di vitale importanza per la conservazione della probabilità):

Si noti il carattere deterministico dell'evoluzione dinamica del sistema, nel senso che lo stato iniziale |ψ0> determina univocamente lo stato a tutti i tempi, finché il sistema non viene perturbato da una operazione di misura. Senza perdita di generalità consideriamo un sistema a due livelli:

ne consegue H=C² e {|n>} è una base ortonormale di tale spazio. Supponiamo che il sistema Sq sia inizialmente preparato nello stato iniziale:

Si ricordi che i coefficienti (complessi) di tale combinazione lineare esprimono le ampiezze di probabilità relative alla misura dell'osservabile coinvolta (in questo caso l'energia). Consideriamo il caso particolare:


L'evoluto temporale di tale stato è

Il fattore di fase che moltiplica l'espressione a secondo membro può essere cancellato, poiché non ha effetti sulla normalizzazione:

Per quanto precede, l'evoluzione temporale conserva la norma del vettore di stato, in quanto risultato dell'applicazione di un operatore unitario sul vettore di stato iniziale. In altri termini, la predetta evoluzione temporale è una trasformazione unitaria del corrispondente spazio di Hilbert. Parleremo dunque di processo U.

Se in un istante t1 > 0 perturbiamo il sistema eseguendo una misura dell'energia, si ha:

Cioè, in seguito all'operazione di misura, il vettore di stato si riduce a uno dei vettori di base, con probabilità 1/2 (stiamo considerando coefficienti identici), e il risultato della misura è il corrispondente autovalore Ek. Ad esempio:

Negli istanti successivi il vettore di stato è |1> ossia uno stato stazionario, per cui misure successive daranno il medesimo autovalore. Siamo dunque in presenza di una nuova modalità di evoluzione temporale che denomiamo processo R caratterizzato dal fatto di essere non deterministico e discontinuo (a causa della riduzione istantanea del vettore di stato). Per essere più precisi, tale processo non è regolato da un'equazione differenziale. Detto in altro modo, è un processo acausale.

Processi di Entanglement quantistico

Abbiamo discusso di tali processi nei seguenti articoli:

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