Serie di Fourier: la strana relazione tra il nucleo di Dirichet e la funzione delta di Dirac

Aprile 5th, 2016 | by Marcello Colozzo |

Alle prese con l'articolo per emcelettronica.com. La convergenza di una serie di Fourier si "gioca" sul nucleo di Dirichlet e sembra che ci sia una qualche relazione con la delta di Dirac.

Supponiamo di avere una funzione periodica f(x) di periodo 2pi, quindi la serie di Fourier associata a f è:

serie di fourier,funzioni periodiche,nucleo di Dirichlet

con i coefficienti di Fourier dati da:

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mentre la somma parziale di ordine n è:

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e sostituendo in questa equazione l'espressione dei coefficienti, e facendo un sacco di noiosi passaggi si giunge a

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In questa formula la funzione Dn che compare nell'integrando, è il famigerato nucleo di Dirichlet, la cui espressione è:

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Ora prendiamo un punto x0 di continuità per f (per ipotesi f è generalmente continua e di modulo sommabile); dopo aver fatto un ulteriore cambio di variabile:

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Ciò vuol dire che alla somma parziale di ordine n calcolata in x0, contribuiscono TUTTI i valori assunti da f in [x0-pi,x0+pi]. E tali valori sono pesati dal nucleo di Dirichlet. Per piccoli n, la distribuzione Dn è ampia, ma al crescere indefinito di n, si assottiglia intorno all'origine con un massimo estremamente piccato:

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Per n->+oo e se in x0 la serie di Fourier converge a f(x0):

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passando alla funzione sinc(x)=sin(x)/x, la relazione precedente equivale a quest'altra:

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Per i dettagli leggi il file pdf

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