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[¯|¯] Funzioni complesse di una variabile complessa. Funzioni olomorfe. Le equazioni di Cauchy-Riemann

Dopo la pausa goliardica (necessaria, visto il caldo 😀 ) sul calcio di rigore, riprendiamo la nostra "marcia" verso la famigerata congettura di Riemann, andando a rispolverare noiose (ma indispensabili) nozioni di analisi complessa. Oggi parliamo di funzioni olomorfe; come è noto, si tratta di una importante classe di funzioni complesse di una variabile complessa.

Per essere più specifici, dopo aver enunciato la definizione di funzione olomorfa, dimostreremo un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione complessa sia olomorfa in un assegnato campo di R^2. Vedremo che la differenziabilità secondo Stolz è una condizione necessaria per l'olomorfia di una funzione complessa. Ed è proprio per questa ragione che abbiamo dedicato due post alla suddetta differenziabilità. Infine, dimostreremo un corollario che esprime una notevole caratterizzazione delle funzioni olomorfe in un campo connesso. Nello specifico, una qualunque funzione olomorfa che assume in un campo connesso solo valori reali o solo valori immaginari, non può fare altro che ridursi a una costante. Per scaricare la dispensa clicca sul link seguente:

Funzioni olomorfe

ps. Con la definizione di derivata complessa non abbiamo fatto altro che estendere il concetto di derivata di una funzione reale di una variabile reale, al caso di una funzione complessa di una variabile complessa. Si noti che tale estensione non è per nulla simile alla definizione di derivazione parziale di una f(x,y) che eventualmente assume valori complessi, poichè nel caso della derivazione complessa le variabili (x,y) vengono "inglobate" nell'unica variabile complessa z=x+iy. In parole povere, la derivazione complessa "somiglia" più all'operazione di derivazione di una funzione di una sola variabile. Anche l'interpretazione geometrica ammette una ragionevole estensione al caso di una funzione complessa f(z), per cui si attribuisce una liscezza complessa (da qui l'immagine al top di questo post 😀 ) a una funzione olomorfa. Non a caso, quest'ultima è differenziabile secondo Stolz, per cui il grafico è dotato - punto per punto - di piano tangente. Tuttavia, da sola la differenziabilità non basta per garantire l'olomorfia di una funzione complessa, giacchè le sue derivate parziali devono soddisfare l'equazione di Cauchy-Riemann

Tags: Differenziabilità secondo Stolz, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni olomorfe