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[¯|¯] Corrispondenze tra insiemi

Ottobre 15th, 2014 | by extrabyte |

Definizione
Assegnati gli insiemi A e B, dicesi corrispondenza da A verso B, l'applicazione:

corrispondenze tra insiemi

dove P(B) è l'insieme delle parti di B.

In altri termini, una corrispondenza da A verso B è una legge che associa univocamente un elemento di A a un sottoinsieme di B. Si tratta, dunque, di una generalizzazione della nozione di applicazione che, come noto, associa univocamente un elemento di A a un elemento di B. Risulta:

Chiamiamo immagine di a mediante rho.

Definizione
Per un assegnato a, poniamo per definizione . Ogni elemento si chiama corrispondente di a mediante .




Definizione
Siano e due corrispondenze da A verso B. Diremo che e coincidono se e solo se:

Esempio
Se A è l'insieme delle rette dello spazio ordinario, la legge che associa a una retta r l'insieme delle rette parallele ad r è una
corrispondenza:

Per è , cioè l'insieme delle rette parallelle ad r.

Definizione
Una corrispondenza è univoca se per ogni contiene un
solo elemento. Cioè .

Una corrispondenza univoca determina in modo naturale un'applicazione:


tale che f(a)=a' essendo a' l'unico elemento di rho(a').

Definizione
Assegnata la corrispondenza

corrispondenze tra insiemi

si dice immagine inversa di a' il sottoinsieme di A:


Ciò determina una corrispondenza da B verso A:



La corrispondenza definita sopra si chiama corrispondenza inversa di ρ e si indica con



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