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[¯|¯] Parità di una funzione. Simmetrie

Settembre 23rd, 2014 | by extrabyte |
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In questa lezione definiamo la cosiddetta parità di una funzione. Premettiamo la seguente definizione:

Definzione 1
Assegnate le funzioni:

f_{1}:X_{1}\rightarrow\mathbb{R},\,\,\,f_{2}:X_{2}\rightarrow\mathbb{R}%


dicesi somma dif_{1} e f_{2}, e si indica con f_{1}+f_{2}, la funzione:

f_{1}+f_{2}:X_{1}\cap X_{2}\rightarrow\mathbb{R}%


tale che f_{1}+f_{2}:x\in X_{1}\cap X_{2}\rightarrow f_{1}\left(  x\right)+f_{2}\left(  x\right) .







Ciò premesso:

Definzione 2
Sia f una funzione definita in un sottoinsieme X di \mathbb{R} tale che -x\in X, \forall x\in X. Diciamo che la funzione è pari se
\begin{equation}
f\left( -x\right) =f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in
X\label{eq: f_pari}%
\end{equation}
È invece dispari se e solo se:
\begin{equation}
f\left( -x\right) =-f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in X\label{eq: f_dispari}%
\end{equation}

Tra le funzioni studiate nelle lezioni precedenti, troviamo che la funzione costante f\left(  x\right)  =c è pari:

f\left(  -x\right)  =c=f\left(  x\right)  ,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%


La funzione valore assoluto f\left(  x\right)  =\left\vert x\right\vert
è pari, avendosi:

f\left(  -x\right)  =\left\vert -x\right\vert =\left\vert x\right\vert =f\left(  x\right)  ,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%


La funzione identica f\left(  x\right)  =x è dispari:

f\left(  -x\right)  =-x=-f\left(  x\right)  ,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%



Definizione 3
Una funzione ha parità definita se è pari o dispari.

Un esempio di funzione che non ha parità definita è la funzione di Heaviside:

funzione di heaviside

Quindi \theta\left(  x\right)  \not =\theta\left(  -x\right)  . Anche la funzione signum non ha parità definita.

Una funzione che non ha parità definita si esprime come somma (nel senso della definizione precedente) di una funzione pari e di una funzione dispari, a patto che il suo campo di esistenza sia del tipo X=\left[-a,a\right],

f\left(  x\right)  =f_{p}\left(  x\right)  +f_{d}\left(  x\right)  ,


dove

f_{p}\left(  x\right)  =\frac{f\left(  x\right)  +f\left(  -x\right)  }{2},\,\,\,f_{d}\left(  x\right)  =\frac{f\left(  x\right)  -f\left(-x\right)  }{2}%


È facile convincersi che f_{p} è pari, mentre f_{d} è dispari.

Concludiamo questa lezione osservando che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine del sistema di assi cartesiani
e, conseguentemente, passa per tale punto.

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