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[¯|¯] Parità di una funzione. Simmetrie

Settembre 23rd, 2014 | by extrabyte |
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In questa lezione definiamo la cosiddetta parità di una funzione. Premettiamo la seguente definizione:

Definzione 1
Assegnate le funzioni:


dicesi somma di e , e si indica con , la funzione:


tale che .







Ciò premesso:

Definzione 2
Sia una funzione definita in un sottoinsieme di tale che , . Diciamo che la funzione è pari se
\begin{equation}
f\left( -x\right) =f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in
X\label{eq: f_pari}%
\end{equation}
È invece dispari se e solo se:
\begin{equation}
f\left( -x\right) =-f\left( x\right) ,\,\,\,\forall x\in X\label{eq: f_dispari}%
\end{equation}

Tra le funzioni studiate nelle lezioni precedenti, troviamo che la funzione costante è pari:


La funzione valore assoluto
è pari, avendosi:


La funzione identica è dispari:



Definizione 3
Una funzione ha parità definita se è pari o dispari.

Un esempio di funzione che non ha parità definita è la funzione di Heaviside:

funzione di heaviside

Quindi . Anche la funzione signum non ha parità definita.

Una funzione che non ha parità definita si esprime come somma (nel senso della definizione precedente) di una funzione pari e di una funzione dispari, a patto che il suo campo di esistenza sia del tipo ,


dove


È facile convincersi che è pari, mentre è dispari.

Concludiamo questa lezione osservando che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse , mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine del sistema di assi cartesiani
e, conseguentemente, passa per tale punto.

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