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[¯|¯] Funzioni reali di una variabile reale (Lezione n. 1 di Analisi Matematica 1)

Settembre 12th, 2014 | by extrabyte |

In Analisi Matematica il primo concetto che si studia è quello di funzione reale di una variabile reale. In questa lezione ne diamo una definizione.

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Siano X e Y due insiemi qualsiasi non vuoti.
Definizione
Un'applicazione di X in Y è una legge che ad ogni elemento x\in X associa univocamente un elemento y\in Y.
Indicando con f tale applicazione, scriviamo:
\begin{equation}
f:X\rightarrow Y,\label{eq: f_symbol}%
\end{equation}
e diremo che f è una funzione definita in X e a valori in Y. Al posto della (\ref{eq: f_symbol}) si usa spesso la notazione simbolica:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\rightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\longrightarrow Y}%
\end{equation}
Per quanto detto, a un generico x\in X corrisponde univocamente un elemento y\in Y. Per esprimere ciò, scriviamo:
\begin{equation}
y=f\left( x\right) ,
\end{equation}
dove f\left(  x\right) è il valore assunto dalla funzione f in x.








Dalla univocità della corrispondenza (\ref{eq: f_symbol}) segue:

\left.  \exists y_{1}\in Y\mid y_{1}=f\left(  x_{1}\right)  ,\,\,\,x_{1}\in X\right)  \Longrightarrow\nexists y_{2}\in Y\diagdown\left\{  y_{1}\right\}<br />
\mid y_{2}=f\left(  x_{1}\right)


In altri termini, a un assegnato x_{1}\in X, non possono corrispondere più valori di y\in Y. Una funzione definita in questo modo, si dice a un sol valore o monodroma. Di contro, si possono definire funzioni a più valori o polidrome. In questi appunti, consideriamo esclusivamente funzioni a un sol valore.

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