[¯|¯] Funzioni periodiche
Settembre 2nd, 2014 | by extrabyte |Definizione
Una funzione f:X->R si dice periodica se
Il numero reale T > 0 è il periodo della funzione.
Tale definizione implica che l'insieme di definizione X è illimitato sia superiormente, sia inferiormente giacchè
In alcune applicazioni (la serie di Fourier) il numero reale T si chiama periodo fondamentale della funzione. Tale denominazione deriva dal fatto che comunque prendiamo un intero naturale non nullo n, il numero reale nT è ancora un periodo della funzione. Risulta
dove
Cioè l'immagine di X tramite f coincide con l'immagine di A tramite f. Quest'ultima è il codominio della restrizione di f all'insieme A, ovvero della funzione fA:A->R.
Il diagramma cartesiano di una funzione f definita in X illimitato e periodica di periodo T, è l'unione di un numero infinito di archi ciascuno dei quali è il grafico della restrizione fA traslato lungo l'asse x con traslazione di ampiezza |k|T, dove k è un intero relativo. Per k > 0 la traslazione è nel verso delle x crescenti, mentre per k < 0 è nel verso delle x decrescenti. Cioè:
essendo &Gammasub>k:y=fA(x) traslato lungo l'asse x di |k|T. Precisamente:
Abbiamo, dunque, una successione di archi di cuva
Esplicitando i singoli termini:
Ad esempio, Γ2 è la curva y:fA(x) traslata nella direzione dell'asse x con una traslazione di ampiezza 2 nel verso delle x crescenti, mentre Γ-2 è la curva y:fA traslata nella direzione dell'asse x con una traslazione di ampiezza 2 nel verso delle x decrescenti, come illustrato in fig. 1.
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