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[¯|¯] La congettura di Taniyama-Shimura

Marzo 9th, 2014 | by Marcello Colozzo |

Sul web non si trova granchè sulla congettura di Taniyama-Shimura, per ciò che riguarda la storia della matematica. Come è noto, tale ipotesi ha reso possibile la dimostrazione dell'ultimo Teorema di Fermat da parte di Andrew Wiles. Esiste, addirittura, una curiosa coincidenza che portò alla formulazione della congettura. La storia è narrata su L'ultimo Teorema di Fermat di Simon Singh (il grassetto è mio, come anche i link a wikipedia):







Nel gennaio del 1954 un giovane e dotato matematico dell'Università di Tokio si recò come tante altre volte alla bliblioteca del suo dipartimento. Goro Shimura cercava unua copia del ventiquattresimo volume dei Mathematische Annalen.

In particolare gli interessava l'articolo di Deuring sulla teoria algebrica della moltiplicazione complessa, di cui aveva bisogno per completare un calcolo particolarmente difficile e astruso.
Con sorpresa e disappunto Shimura scoprì che il volume era già in prestito. Ne aveva fatto richiesta Yutaka Taniyama, una sua vaga conoscenza che viveva dall'altra parte del campus. Shimura scrisse a Taniyama spiegandogli che aveva urgente bisogno del fascicolo per completare quel calcolo antipatico e gli chiedeva con gentilezza quando lo avrebbe restituito.




Pochi giorni più tardi sulla scrivania di Shimura arrivò una cartolina. Taniyama gli rispondeva spiegandogli che anche lui stava lavorando allo stesso calcolo e che si era bloccato sul suo stesso passaggio logico. Gli proponeva di scambiarsi le proprie idee e magari di lavorare insieme sul problema. Da questo incontro casuale avvenuto grazie a un libro e a una biblioteca scaturì una collaborazione che avrebbe cambiato il corso della storia della matematica.
Taniyama era nato il 12 novembre 1927 in una cittadina situata pochi km a nord di Tokio. [...] L'istruzione scolastica di Taniyama aveva subito continue interruzioni: a bambino era spesso ammalato e negli anni dell'adolescenza fu colpito dalla turbercolosi, così che dovette perdere due anni di scuola superiore. Lo scoppio della guerra provocò danni anche maggiori alla sua carriera di studente.

Negli anni di guerra l'istruzione scolastica di Goro Shimura, che aveva un anno meno di Taniyama, si interruppe del tutto. La sua scuola fu distrutta, e invece di assistere alle lezioni Shimura dovette contribuire allo sforzo bellico lavorando in fabbrica: assemblava parti di aereoplani. La sera studiava da solo per cercare di riguadagnare il tempo perduto, e scoprì di essere particolarmente attratto dalla matematica.
[...]
Pochi anni dopo la fine della guerra, Shimura e Taniyama si ritrovarono all'università. Al tempo in cui si erano scambiati le cartoline per il volume della biblioteca, la vita a Tokio stava cominciando a tornare alla normalità e i due giovani studiosi potevano permettersi qualche piccolo lusso. Trascorrevano i pomeriggi nei caffè, la sera cenavano in un piccolo ristorante specializzato in piatti a base di carne di balena, e durante i fine settimana avevano l'abitudine di passeggiare nei giardini botanici o nel parco cittadino. Tutti luoghi ideali per discutere le loro ultime idee matematiche.
Benchè Shimura possedesse una vena di bizzarria - ancora oggi conserva la sua passione per le storielle Zen - aveva un carattere molto più tradizionalista e convenzionale rispetto al suo collega e amico. Shimura si alzava all'alba e si buttava immediatamente sul lavoro, mentre a quell'ora Taniyama era ancora sveglio dopo aver lavorato per tutta la notte. Spesso chi passava dal suo appartamento lo trovava profondamente addormentato a metà pomeriggio.
Se Shimura era meticoloso, Taniyama era trascurato fino all'indolenza. Sorprendetemente Shimura ammirava questo suo tratto: «Lui era dotato della capacità speciale di fare molti errori, per lo più nella direzione giusta. Lo invidiavo per questo, e tentavo invano di imitarlo, ma mi era molto difficile fare buoni errori».
Taniyama era l'epitomo del genio con la testa fra le nuvole, e ciò si rifletteva sul suo aspetto esteriore. Era incapace di fare un nodo decente e aveva quindi deciso che piuttosto che allacciarsi le scarpre una dozzina di volte al giorno non le avrebbe allacciate affatto.
[...]
Quando si incontrarono, nel 1954, la carriera matematica di Shimura e Taniyama stava appena cominciando. Era tradizione, ed è tuttora così, che i giovani ricercatori fossero presi sotto l'ala protettiva di un professore che avrebbe guidato le loro menti inesperte, ma Taniyama e Shimura rifiutarono questa forma di apprendistato. Durante la guerra la ricerca pura si era arenata, engli anni Cinquanta la facoltà di matematica non si era ancora ripresa. Secondo Shimura i professori erano «stanchi, nauseati e disillusi». Al confronto, gli studenti del dopoguerra erano pieni di entusiasmo e ansiosi di apprendere, e presto si resero conto che l'unico modo di progredire era di insegnare a se stessi.
[...]
Un argomento particolarmente fuori moda che affascinava tanto Taniyama quanto Shimura era lo studio delle forme modulari.
Le forme modulari sono fra gli oggetti matematici più misteriosi e affascinanti.
[...]

L'aspetto fondamentale delle forme modulari è il loro grado di simmetria. [...] Le forme modulari studiate da Taniyama e Shimura possono essere ribaltate, girate, riflesse e ruotate in un numero infinito di modi rimanendo sempre invariate, il che le rende gli oggetti matematici più simmetrici. Purtroppo disegnare, o anche immaginare, una forma modulare è impossibile, in quanto tali oggetti sono definiti in un particolare spazio 4-dimensionale noto come spazio iperbolico.
Le forme modulari che esistono nello spazio iperbolico hanno varie forme e dimensioni, ma sono tutte costituite dagli stessi "ingredienti" fondamentali. Ciò che rende diversa ciascuna forma modulare è la quantità di ciascun ingrediente che essa contiene. Gli ingredienti di una forma modulare sono numeri da uno all'infinito: M1, M2,.... E quindi una data forma modulare, potrebbe contenere una parte del primo ingrediente (M1 = 1), tre parti del secondo ingrediente (M2 = 3), due parti del terzo ingrediente (M3 = 2), etc. Queste informazioni, che descrivono come è costruita una forma modulare, possono essere riassunte in quella che si definisce una serie modulare, o M-serie.
Proprio come la E-serie è il Dna per le equazioni ellittiche, la M-serie è il Dna per le forme modulari. La quantità di ciascun ingrediente elencato nella M-seire è di importanza critica.
All'interno della matematica le forme modulari costiuiscono un argomento a se stante. In particolare esse sembrerebbero non avere assolutamente alcun rapporto con l'argomento studiato da Wiles a Cambridge, le equazioni ellittiche. Le forme modulari sono un mostro di enorme complessità, studiate, in larga misura, a causa della loro simmetria, e scoperte soltanto nel diciannovesimo secolo. Le equazioni ellittiche risalgono agli antichi greci e non hanno nulla a che vedere con la simmetria. Le forme modulari e le equazioni ellittiche risiedono in regioni completamente diverse dell'universo matematico e nessuno avrebbe mai pensato che ci fosse la minima connessione fra i due argomenti. Tuttavia, Taniyama e Shimura dovevano provocare uno shock nella comunità dei matematici suggerendo che le equazioni ellittiche e le forme modulari erano in realtà esattamente la stessa cosa. Questi due matematici indipendenti sostenevano di essere in grado di unificare il mondo modulare e quello ellittico.

Soltanto un'illusione

Nel settembre 1955 si tenne a Tokio un convegno internazionale di matematica. Per i giovani ricercatori giapponesi era un'occasione unica di mostrare al resto del mondo ciò che avevano appreso. Distribuirono ai partecipanti una raccolta di 36 problemi relativi al loro lavoro, accompagnati da poche umili righe di introduzione: «Alcuni problemi di matematica insoluti. Non è stata compiuta alcuna presentazione approfondita, così che fra di essi ce ne potrebbero essere alcuni banali oppure già risolti. Ai partecipanti si chiede di fornire commenti su ognuno di questi problemi».
Quattro dei quesiti erano proposti da Taniyama, e suggerivano l'esistenza di una curiosa relazione tra forme modulari ed equazioni ellittiche. Questi quesiti innocenti avrebbero finito per portare a una rivoluzione nella teoria dei numeri. Taniyama aveva esaminato i primi termini della M-serie di una particolare forma modulare. Egli riconobbe l'andamento della serie e si rese conto che ricalcava esattamente quello della E-serie di un'equazione ellittica ben nota. Calcolò pochi altri termini delle due serie: la M-seire della forma modulare e la E-serie dell'equazione ellittica coincidevano alla perfezione.
Era una scoperta sensazionale poichè, senza che ce ne fosse alcuna ragione evidente, quella forma modulare poteva essere messa in relazione con un'equazione ellittica attraverso le rispettive M-serie ed E-serie: le due serie erano identiche. Il Dna matematico che dava forma alle due entità era esattamente lo stesso. Ciò costituiva una scoperta doppiamente profonda. In primo luogo suggeriva l'esistenza nascosta di una relazione fondamentale fra la forma modulare e l'equazione ellittica, oggetti che venivano da sponde opposte della matematica. In secondo luogo significava che i matematici, che già conoscevano la M-seire per la forma modulare, non avrebbero avuto bisogno di calcolare la E-serie per l'equazione ellittica.
[...]
L'idea che ogni equazione ellittica fosse legata a una forma modulare era così straordinaria che coloro i quali diedero un'occhiata ai quesiti di Taniyama li considerarono come nient'altro che osservazioni curiose. Non c'era dubbio che Taniyama avesse dimostrato il fatto che qualche equazione ellittica poteva essere legata a una particolare forma modulare ma, sostenevano gli scettici, si trattava semplicemente di una coincidenza. A loro giudizio, l'esistenza di una relazione generale e universale, sostenuta da Taniyama, appariva ben poco fondata.
L'unico alleato di Taniyama era Shimura, che credeva nella forza e nella profondità dell'idea del suo amico. Dopo il convegno egli intendeva collavorare con Taniyama per sviluppare l'ipotesi a un livello tale che il resto del mondo non avrebbe più potuto ignorare il loro lavoro. Shimura intendeva trovare altre prove a sostegno della relazione tra il mondo modulare e quello ellittico. La collaborazione si interruppe temporaneamente nel 1957, quando Shimura fu invitato presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, negli Stati Uniti. Secondo le sue intenzioni, una volta trascorsi i due anni come docente ospite, Shimura avrebbe ripreso a lavorare con Taniyama, ma ciò non potè accadere. Il 17 novembre del 1958 Yutaka Tamiyama si suicidò.

Morte di un genio

Shimura conserva ancora la cartolina che Taniyama gli mandò quando entrarono in contatto per la prima volta grazie al libro della biblioteca universitaria. Conserva anche l'ultima lettera che Taniyama gli scrisse a Princeton, ma essa non contiene il minimo indizio di ciò che sarebbe successo solo due mesi più tardi.
A tutt'oggi Shimura non ha idea dei motivi del suicidio di Taniyama. «Ero davvero molto perplesso. Perplessità è probabilmente la parola più giusta. Naturalmente ero triste ma, vede, fu una cosa così improvvisa. Ricevetti la lettera a settembre e lui mori a novembre, e io non ero in grado di darvi un senso. Naturalmente in seguito venni a sapere molte cose e tentai di riconciliarmi con la sua morte. Alcue persone mi dissero che aveva perso fiducia in se stesso, ma non per quanto riguarda la matematica».
Ciò che soprattutto sconcertava i suoi amici era il fatto che Taniyama si era appena innamorato di Misako Suzuki e che progettava di sposarla entro l'anno. In un ricordo personale dell'amico pubblicato sul Bulletin of the London Mathematical Society Goro Shimura rievoca il fidanzamento di Taniyama con Misako e le settimane che precedettero il suo suicidio:
Quando fui informato del loro fidanzamento rimasi piuttosto sorpreso, dato che avevo avuto la vaga sensazione che lei non fosse il suo tipo, ma non ebbi alcun cattivo presentimento. Mi fu detto in seguito che avevano firmato un contratto d'affitto per un appartamento, evidentemente uno migliore, destinato a diventare la loro nuova casa.
[...]
La mattina del 17 novembre 1958, il custode di caso lo trovò morto nella sua stanza, insieme a un messaggio lasciato sulla scrivania. Era scritto su tre pagine di un quaderno del tipo che usava per il suo lavoro universitario; nel primo paragrafo si legge: «Fino a ieri non aveva alcuna precisa intenzione di uccidermi. Ma non pochi devono aver notato che negli ultimi tempi sono stato fisicamente e mentalmente stanco. Quanto al motivo del mio suicidio, non lo comprendo affatto nemmeno io, ma non è il risultato di un episodio particolare, nè di un fatto specifico. Posso solo dire che sento di aver perso fiducia nel futuro. Può darsi che ci sia una persona a cui il mio suicidio potrebbe, in una certa misura, arrecare sofferenza o colpire. Spero sinceramente che questo episodio non getterà ombre sul futuro di questa persona. A ogni modo, non posso negare che questo mio gesto sia una sorta di tradimento, ma vi prego di scusarlo come l'ultimo atto che ho compiuto a modo mio, così come ho sempre fatto a modo mio in tutta la mia vita».
[...]
Così una delle mente più brillanti e innovatrici del tempo poneva volontariamente fine alla propria vita. Aveva compiuto trentun anni solo cinque giorni prima.

Poche settimane dopo il suicidio di Taniyama, la tragedia si abbattè una seconda volta. Anche la sua fidanzata, Misako Suzuki, si tolse la vita. A quanto si racconta, lasciò un biglietto che diceva: «Ci promettemmo a vicenda che, ovunque fossimo andati, non ci saremmo mai separati. Ora che se n'è andato, devo farlo anch'io, così da potermi ricongiungere a lui».



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